用a+b≥2√ab 求解一类物理竞赛题--华博物理

用a+b≥2√ab 求解一类物理竞赛题

作者：刘德华（湖北省钟祥市东桥中学）
关键词：物理竞赛一类极值题

        初中数学只研究了形如 y = ax²+bx+c的二次函数极值问题,而在物理竞赛甚至在中考试题上出现了求等形式的极值类考题，一些同学对这类题无从下手. 本文介绍巧用解题的方法.首先,我们推导,并由此得出三个重要的结论.
       对于两正数a 和 b，我们有：

       将上式展开并整理，即得到:

      上式等号成立的条件是a＝b；当a≠b时,. 由此得到两个有用的结论：
      结论1 如果两正数的积一定，那么，当这两个数相等时和最小.
      结论2 如果两正数的和一定，那么，当这两个数相等时积最大.
       将变形为，并定义为算术平均数，为几何平均数，还可得到一条结论：
      结论3 两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
      下面举例说明上述结论的应用.
      例1 阻值为8Ω的电阻R₁与最大阻值为24Ω的滑动变阻器R₂串联后,接在电压为4V的电源上,问R₂的阻值为多大时R₂的功率最大?最大功率是多大?
      分析：两电阻串联, R₂ 变大时总电阻R 增大,电流 I 减小, R₁两端的电压降低, R₂ 两端的电压升高,由P₂=U₂I 知,功率P₂随电阻 R₂ 的变化不是单调的,必然存在着极值.欲求 R₂ 的最大功率，先得导出功率P₂与滑动变阻器的阻值 R₂ 的关系式,再运用结论做出判断.
      解：由和P₂=U₂I=I²R₂ ,得:

     上式分母中的与R₂的积为一定值, 当, 即R₂=R₁时分母的和为最小, P₂的值为最大 .代入数值得:R₂= 8Ω, P₂_最大=0.5 W.
      例2   图1中，当滑动变阻器的滑片P从左端a滑向右端b的过程中，电流表的示数的变化情况是：
             A.一直变大      B.一直变小         C.先变大，后变小         D.先变小，后变大.
      分析与解:图中的连接方式,将变阻器分成了R_aP和R_Pb两部分,这两部分并联后与R_L串联,因此,干路电流表达式为:

       上式分母中的第二项R_aP与R_Pb的和R_ab为一定值,当, 即滑片位于中点时,总电阻最大, 电流最小. 因此, 本题答案为D.
      例3 一顾客到商店购买一种小颗粒药品300g，商店恰用天平售货，由于超量程不能一次性程量，店家想出了一个办法：将天平两盘放上相同的纸片后，在右盘放入150 g的砝码，左盘放适量的药品使天平重新平衡；取出药品后再将150g砝码放入左盘，在右盘放适量的药品使天平重新平衡.他认为两次称量的药品加起来即为300g，即使天平不等臂谁也不会吃亏.请问，这种称量方法真的公平吗？
      分析：我们先导出药品总质量与砝码质量、天平臂长的关系，令a=l₁²、b= l₂²,利用结论3即可作出判断.
       解：设天平左臂长为l₁、右臂长为l₂，砝码质量为m，第一次称量放入盘中药品的质量为m₁，第二次称量放入盘中药品的质量为m₂，如图2，由杠杆平衡条件得：
     m₁g l₁= mg l₂     mg l₁= m₂g l₂    所以，.因此有：.   对于两正数l₁_、和l₂，我们有： (l₁_－l₂)²≥0，展开得到，所以m_总≥2m，即m_总≥300g，只有当两臂长相等时才是公平的，否则，商店多给了药品.
    （本文发表于《科学课》2004年11期P42）